注意，「真」和「能被证明」并不相等，同样「假」和「不能被证明」亦不相等。戈德尔证明
在皮亚诺公设内，（其实不需要用到这
强
公设）可以说出「这句话不能被证明」，若愿意接受这件事，
们即可证明不完备定理，为证明方便，们称「这句话不能被证明」为A，若在此系统内A被证明，则由A意义，即A不能被证明，知道「A」是假，而在此系统内证明
个假叙述，表示此系统是不致，故若此系统是致，则A不能被证明，则由A意义得知A是真，因它说它不能被证明，因此们也就找到个叙述
备。
即除非这个系统很简单，(所以能叙述不多)，或是包含矛盾，否则必有真叙述不能被证明。
第二不完备定理
任何个足够强致公设系统，必无法证明本身致性。
所以除非这个系统很简单，否则你若在此系统性，证明本身致性，反而已显出它是不致。
戈德尔证明过程相当复杂，而其中最核心概念，是古典希腊哲学中个有名诡论(paradox)：说谎者诡论。纪元前6世纪希腊时代个诗人哲学家Epimenides说句很有名话：「所有克里特岛人都是说谎。」这句话有名倒不是因为它是真理，正好相反，因为它定是错，为什是错呢？因为说这句话人Epimenides就是克里特岛人，同样句话，别人说也可能是对，（希望不致冒犯克里特岛人），但是由克里特岛人来说，就定是错，为什呢？若这句话是真，则Epimenides没有说谎，和这句话矛盾，所以这句话是假。们再举个例子来说明这个诡论。
A：B这句话是真。
B：A这句话是假。
们可能会认为A(或B)这句话非真即假，且让们来看看是否如此，假设A这句话是真，即表示B这句话是真，故「A这句话是假」是真，故A这句话是假，和假设矛盾。们现在假设A这句话是假，则「B这句话是真」是假，故B这句话是假，所以「A这句话是假」是假，即A这句话是真，这又和们假设矛盾，结论是，A不论是真是假都得到矛盾，大家若有兴趣，不妨从B句开始，亦得到相同结果，这就是它之所以被称为诡论缘由。
戈德尔是如何利用这个概念呢？若说：「这句话是假。」那利用前面论证，这句话是矛盾，所以任何个致公设系统都无法说出这句话来，而戈德尔将上面这句话改为「这句话不能被证明。」
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